Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1 Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 1.1 Was ist eine Differentialgleichung?.- 1.1.1 Differentialgleichungen als Modelle für technisch-physikalische Probleme.- 1.1.2 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 1.2 Differentialgleichungen 1-ter Ordnung.- 1.2.1 Geometrische Interpretation. Folgerungen.- 1.2.2 Grundprobleme.- 1.2.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz.- 1.2.4 Anwendungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes.- 1.2.5 Elementare Lösungsmethoden.- 1.2.6 Numerische Behandlung.- 1.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme 1-ter Ordnung.- 1.3.1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze.- 1.3.2 Abhängigkeit von Anfangsdaten und Parametern.- 1.3.3 Elementare Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen 2-ter Ordnung. Anwendungen.- 1.4 Ebene autonome Systeme (Einführung).- 1.4.1 Fortsetzbarkeit der Lösungen von Anfangswertproblemen.- 1.4.2 Phasenebene, Orbits und Gleichgewichtspunkte.- 1.4.3 Lineare autonome Systeme.- 1.4.4 Ebene nichtlineare Systeme. Anwendungen.- 2 Lineare Differentialgleichungen.- 2.1 Lösungsverhalten.- 2.1.1 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Systemen 1-ter Ordnung.- 2.1.2 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 2.2 Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung.- 2.2.1 Fundamentalsystem.- 2.2.2 Wronskideterminante.- 2.3 Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung.- 2.3.1 Inhomogene Systeme und Superposition.- 2.3.2 Spezielle Lösungen und Variation der Konstanten.- 2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter-Ordnung.- 2.4.1 Fundamentalsystem und Wronskideterminante.- 2.4.2 Reduktionsprinzip.- 2.4.3 Variation der Konstanten.- 3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 3.1.1 Homogene Differentialgleichungen und Konstruktion eines Fundamentalsystems.- 3.1.2 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundzüge der Operatorenmethode.- 3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundlösungsverfahren.- 3.1.4 Anwendungen.- 3.2 Lineare Systeme 1-ter Ordnung.- 3.2.1 Eigenwerte und -vektoren bei symmetrischen Matrizen.- 3.2.2 Systeme mit symmetrischen Matrizen.- 3.2.3 Hauptvektoren. Jordansche Normalform.- 3.2.4 Systeme mit beliebigen Matrizen.- 3.2.5 Systeme und Matrix-Funktionen.- 3.2.6 Zurückführung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Systeme höherer Ordnung.- 3.2.7 Anwendungen.- 4 Potenzreihenansätze und Anwendungen.- 4.1 Potenzreihenansätze.- 4.1.1 Differentialgleichungen mit regulären Koeffizienten.- 4.1.2 Hermitesche Differentialgleichung.- 4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze.- 4.2.1 Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten.- 4.2.2 Besselsche Differentialgleichung.- 5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen.- 5.1 Rand- und Eigenwertprobleme.- 5.1.1 Beispiele zur Orientierung.- 5.1.2 Randwertprobleme.- 5.1.3 Eigenwertprobleme.- 5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung.- 5.2.1 Die schwingende Saite.- 5.2.2 Physikalische Interpretation.- 5.3 Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung).- 5.3.1 Aufgabenstellung.- 5.3.2 Das linearisierte Problem.- 5.3.3 Das nichtlineare Problem. Verzweigungslösungen.- Distributionen.- 6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs.- 6.1 Motivierung und Definition.- 6.1.1 Einführende Betrachtungen.- 6.1.2 Der Grundraum C0? (IR n).- 6.1.3 Distributionen (im weiteren Sinn).- 6.2 Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen.- 6.2.1 Stetige Funktionen und Distributionen.- 6.2.2 Die Diracsche Delta-Funktion.- 7 Rechnen mit Distributionen. Anwendungen.- 7.1 Rechnen mit Distributionen.- 7.1.1 Grundoperationen.- 7.1.2 Differentiation. Beispiele.- 7.2 Anwendungen.- 7.2.1 Grundlösungen der Wärmeleitungsgleichung.- 7.2.2 Ein Differentialgleichungsproblem.- Integraltransformationen.- Vorbemerkungen.- 8 Fouriertransformation.- 8.1 Motivierung und Definition.- 8.1.1 Einführende Betrachtungen.- 8.1.2 Definition der Fouriertransformation. Beispiele.- 8.2 Umkehrung der Fouriertransformation.- 8.2.1 Umkehrsatz im Raum.- 8.2.2 Umkehrsatz für stückweise glatte Funktionen.- 8.2.3 Eindeutigkeit der Umkehrung.- 8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation.- 8.3.1 Linearität.- 8.3.2 Verschiebungssatz.- 8.3.3 Faltungsprodukt.- 8.3.4 Differentiation.- 8.3.5 Fouriertransformation und temperierte Distributionen.- 8.3.6 Fouriertransformation kausaler Funktionen und Hilbert-transformation.- 8.4 Anwendungen auf partielle Differentialgleichungsprobleme.- 8.4.1 Wärmeleitungsgleichung.- 8.4.2 Potentialgleichung.- 9 Laplacetransformation.- 9.1 Motivierung und Definition.- 9.1.1 Zusammenhang zur Fouriertransformation.- 9.1.2 Definition der Laplacetransformation.- 9.2 Umkehrung der Laplacetransformation.- 9.2.1 Umkehrsatz und Identitätssatz.- 9.2.2 Berechnung der Inversen.- 9.3 Eigenschaften der Laplacetransformation.- 9.3.1 Linearität.- 9.3.2 Verschiebungssätze. Streckungssatz.- 9.3.3 Faltungsprodukt.- 9.3.4 Differentiation.- 9.3.5 Integration.- 9.3.6 Laplacetransformation und periodische Funktionen.- 9.4 Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen.- 9.4.1 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 9.4.2 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten.- 9.4.3 Differentialgleichungen mit unstetigen Inhomogenitäten.- 10 ?-Transformation.- 10.1 Motivierung und Definition.- 10.1.1 Einführende Betrachtungen.- 10.1.2 D-Transformation und Zusammenhang zur Laplacetransformation.- 10.1.3 Definition der ?-Transformation.- 10.2 Eigenschaften der ?-Transformation.- 10.2.1 Grundlegende Operationen. Rechenregeln.- 10.2.2 Umkehrung der ?-Transformation.- 10.3 Anwendungen.- 10.3.1 Lineare Differenzengleichungen.- 10.3.2 Impulsgesteuerte Systeme.- Symbole.